انتقل إلى المحتوى

تحليل مقارب

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة

في التحليل الرياضي ، يعد التحليل المقارب ، المعروف أيضًا باسم التقارب ، طريقة لوصف سلوك النهايات.

كتوضيح، افترض أننا مهتمون بخصائص الدالة f(n) بحيث n هو عدد كبير جدًا. إذا كانت f(n) = n2 + 3n إذاً كلما كَبُرت n ، 3n تصبح ضئيلة مقارنة بــ n2. يُقال أن الدالة f(n) «مكافئة بشكل مقارب لـ n2 ، عندما n → ∞ ». غالبًا ما يتم كتابة هذا على كشكل f(n) ~ n2 ، والذي يُقرأ « f(n) مقارب لـ n2 ».

كمثال على نتيجة مقاربة مهمة نذكر مبرهنة الأعداد الأولية . لتكن π(x) هي الدالة المعدة للأعداد الأولية، أي أن π(x) هي عدد الأعداد الأولية التي تقل عن x أو تساويها. ثم تنص المبرهنة على الآتي :

تعريف

[عدل]

بالنظر إلى الدالتين f(x) و g(x) ، نحدد العلاقة الثنائية

عندما تؤول إلى .

إذا وفقط إذا (دي بروين  1981)

الرمز ~ هو تلدة . العلاقة هي علاقة تكافؤ على مجموعة دوال x ؛ يقال أن الدالتين f و g مكافئتان تقاربيًا (أو بشكل مقارب) . يمكن أن يكون مجال f و g أي مجموعة بشرط أن تكون فيها النهاية معرفة: على سبيل المثال، الأعداد الحقيقية والأرقام المركبة والأعداد الصحيحة الموجبة.[1][2]

خصائص

[عدل]

إذا كانت و ، ففي ظل بعض الظروف، الآتي صحيح.

  • ، لكل r

تسمح هذه الخصائص بتبادل الدوال المتكافئة تقاربيًا بحرية في العديد من التعبيرات الجبرية.

أمثلة على الصيغ المقاربة

[عدل]
- هذا الأخير هو تقريب ستيرلينغ.
لعدد صحيح موجب ، تعطي دالة التجزئة عدد طرق كتابة العدد الصحيح كمجموع من الأعداد الصحيحة الموجبة.[3]

ملاحظات

[عدل]
  1. ^ Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Asymptotic equality", Encyclopedia of Mathematics  [لغات أخرى] (بالإنجليزية), Springer, ISBN:978-1-55608-010-4
  2. ^ Estrada & Kanwal (2002, §1.2)
  3. ^ Howison, S. (2005), Practical Applied Mathematics, مطبعة جامعة كامبريدج نسخة محفوظة 22 يوليو 2021 على موقع واي باك مشين.

مراجع

[عدل]

وصلات خارجية

[عدل]